Chapter 3 Review - 章节练习

答案：
\( 3x - 8 > x + 13 \)
\( 3x - x > 13 + 8 \)
\( 2x > 21 \)
\( x > 10.5 \)
解集：\( \{ x: x > 10.5 \} \) 或 \( (10.5, +\infty) \)

答案：
步骤①：解方程 \( x^2 - 5x - 14 = 0 \)
\( (x - 7)(x + 2) = 0 \)
\( x = 7 \) 或 \( x = -2 \)

步骤②：抛物线开口向上，在 \( x = -2 \) 和 \( x = 7 \) 之间 \( y < 0 \)，两侧 \( y > 0 \)
因此 \( x^2 - 5x - 14 > 0 \) 的解集为 \( x < -2 \) 或 \( x > 7 \)

答案：
判别式 \( \Delta = 64 - 20k = 64 - 20k \)
有实根：\( \Delta \geq 0 \)
\( 64 - 20k \geq 0 \)
\( 20k \leq 64 \)
\( k \leq 3.2 \)
解集：\( k \leq 3.2 \)

答案：
判别式 \( \Delta = (4k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5k) = 16k^2 + 40k \)
无实根：\( \Delta < 0 \)
\( 16k^2 + 40k < 0 \)
\( 4k(4k + 10) < 0 \)
\( -\frac{10}{4} < k < 0 \)
\( -2.5 < k < 0 \)
即 \( -\frac{5}{2} < k < 0 \)

答案：
绘制指南：
\( f(x) = x^2 + 2x - 15 \) 是开口向上的抛物线，顶点在 \( x = -1 \)，\( y = -16 \)。
\( g(x) = 6 - 2x \) 是斜率为 -2 的直线。

绘制时注意：抛物线在 \( x = -1 \) 处最低，直线从左到右下降。

答案：
联立求交点：
\( x^2 + 2x - 15 = 6 - 2x \)
\( x^2 + 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) = 0 \)
\( x = -7 \) 或 \( x = 3 \)

当 \( x = -7 \) 时，\( y = 6 - 2(-7) = 6 + 14 = 20 \)
当 \( x = 3 \) 时，\( y = 6 - 2(3) = 6 - 6 = 0 \)
交点：\( (-7, 20) \)，\( (3, 0) \)

答案：
交点 \( x = -7 \)，\( x = 3 \)。
抛物线开口向上，直线斜率为负。
在 \( x = -7 \) 和 \( x = 3 \) 之间，抛物线位于直线上方。
因此 \( f(x) > g(x) \) 的解集为 \( -7 < x < 3 \)

答案：
步骤①：移项通分
\( \frac{8}{x^2} + 1 - \frac{9}{x} \leq 0 \)
\( \frac{8 + x^2 - 9x}{x^2} \leq 0 \)
\( \frac{x^2 - 9x + 8}{x^2} \leq 0 \)

步骤②：分子 \( x^2 - 9x + 8 = 0 \)，\( (x - 1)(x - 8) = 0 \)，临界值 \( x = 1 \)，\( x = 8 \)

步骤③：分式不等式，考虑定义域和符号变化。
解集为 \( 1 < x < 8 \)（排除 \( x = 0 \)）

答案：
绘制步骤：
1. 画出 \( y = 6 - x \)（虚线，因为 \( < \)）
2. 画出 \( y = 2x + 9 \)（虚线，因为 \( < \)）
3. 画出 \( y = 3 \)（实线，因为 \( > \)）
4. 画出 \( x = 0 \)（实线，因为 \( > \)）

阴影区域是所有边界条件交集的重叠区域。

答案：
阴影区域是一个多边形。
求各边界线的交点作为顶点：

(1) \( y = 6 - x \) 和 \( y = 3 \)：
\( 3 = 6 - x \)，\( x = 3 \)，顶点：\( (3, 3) \)

(2) \( y = 6 - x \) 和 \( x = 0 \)：
\( y = 6 - 0 = 6 \)，顶点：\( (0, 6) \)

(3) \( y = 2x + 9 \) 和 \( y = 3 \)：
\( 3 = 2x + 9 \)，\( 2x = -6 \)，\( x = -3 \)，但 \( x > 0 \) 不满足

(4) \( y = 2x + 9 \) 和 \( x = 0 \)：
\( y = 0 + 9 = 9 \)，顶点：\( (0, 9) \)

实际顶点：考虑 \( x > 0 \) 和 \( y > 3 \) 的限制。
区域顶点：\( (0, 6) \)，\( (3, 3) \)，以及 \( y = 2x + 9 \) 和 \( x = 0 \) 的 \( (0, 9) \)（但需检查是否满足所有条件）。

面积计算需要根据具体图像进行，通常使用多边形面积公式。